LAJU PERUBAHAN SEBUAH FUNGSI

 LAJU PERUBAHAN SEBUAH FUNGSI

1.1 Koordinat-koordinat untuk Bidang

            Penulis disini mempostingkan kembali tentang apa yang dijelaskan di buku KALKULUS dan GEOMETRI ANALITIK, pengarang THOMAS-FINNEY dan SILABAN-WOSPAKRIK, edisi keenam-jilid 1. Menjelaskan tentang Laju Perubahan Sebuah Fungsi yang dimulai dari Koordinat-koordinat untuk bidang.

        Geometri-analitik dimuali dengan penetapan (assignment) koordinat-koordinat bilangan (numeric) bagi semua titik dalam bidang. Koordinat-koordinat ini memungkinkan kita untuk menggambarka

Penulisn grafik grafik persamaan-persamaan aljabar dalam dua buah variabel sebagai garis-garis dan kurva-kurva. dan juga memungkinkan kita untuk menghitung sudut-sudut dan jarak-jarak serta menulisakan persamaan-persamaan koordinat untuk menyatakan lintasan-lintasan sepanjang mana objek bergerak. Karena sebagian besar dari teori kalkulus ini dapat disajikan dalam istilah-istilah geometri dan penerapannya terutama pada masalah gerak dan perubahan, masa bidang koordinat dari geometri

Gambar 1.1

Titik-titik dalam bidang memperoleh koordinat-koordinatnya dari sumbu-sumbu bersekala seperti salah satu yang diperlihatkan di atas.

analitik ini merupakan kerangka yang wajar untuk mempelajari kalkulus dan penerapan-penerapannya.

          Langkah pertama dalam menetapkan koordinat-koordinat bagi titik-titik dalam sebuah bidang adalah memilih suatu pasangan garis yang saling berpotongan tegak-lurus, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 1.1. Titik O dimana garis-garis ini berpotongan disebut titik-asal (origin). Salah satu dari kedua hgaris ini disebut sumbu-x dan yang lainnya sumbu-y. Arah dari sumbu-x dan -y berturut-turut disebut "horizontal" dan "vertikal", dan biasanya mereka digambarkan dalam cara ini.

         Langkah berikutnya adalah menetapkan pasangan koordinat (0,0) bagi titik-asal dan menskala tiap-tiap sumbu dalam beberapa satuan panjang. Satuan-satuan panjang pada kedua sumbu ini dapat berbed, seperti yang terdapat pada Gambar 1.2.

           Pensaekalaan pada sumbu-x menetapkan sebuah bilangan positif a bagi titik yang berada sejauh a satuan disebelah kanan O. Bilangan-bilangan positif terletak di sebelah kanan O, dan bilangan-bilangan negatif disebelah kiri O. Pensekalaan ini melengkapi hubungan satu-satu (one to one correspondence) antara titik-titik pada sumbu-x dan himpunan bilangan-bilangan riel (bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan oleh desimal-desimal yang berakhir atau tak-berakhir).

Penskalaan pada sumbu-y menetapkan bilangan positif b bagi titik yang berada sejauh b satuan di atas sumbu-x dan -b bagi titik yang berada sejauh b satuan di bawah

Gambar 1.2
Penskalaan pada tiap-tiap sumbu simetris terhadap titik-asal.

Gambar 1.3

Titik P di mana garis yang tegak lurus sumbu-x di a memotong daris yang tegak-lurus sumbu-y di b ditetaokan pasangan koordinat (a,b)

sumbu-x. Dengan angka 0 yang telah ditetapkan bagi titik asal, maka susunan simetris dari bilangan-bilangan ini melengkapi hubungan satu-satu antara titik-titik dari sumbu-y dan bilangan-bilangan riel. (Gambar 1.2).
         Sekarang kiita lebih siap untuk menetapkan pasangan-pasangan bilangan bagi titik-titik dalam bidang. Bilangan pertama dalam pasangan (a, b) yang ditetapkan bagi sebuah titik P didapati dengan menarik sebuah garis tegak-lurus dari titik P ke sumb-x dan mengambilkan a sebagai bilangan yang ditetapkan bagi titik dimana garis tegak lurus ini memotong sumbu-x. Bilangan kedua didapati dengan menarik garis tegak-lurus dari P ke sumbu-y dan mengambil b sebagai bilangan yang ditetapkan bagi titik perpotongan garis ini dengan sumbu-y. Susunannya diperlihatkan dalam Gambar 1.3. 

           Bilangan a dari sumbu-x ini disebut koordinat-x dan absis (abscissa) dari P. Bilangan b dari sumbu-y adalah koordinat-y, atau ordinat (ordinate) dari P. Pasangan (a, b) adalah pasangan-koordinat dari titik P. Pasangan ini juga merupakan sebuah pasangan terurut (Ordered pair), yang mengurutkan koordinat-x  terlebuh dahulu dan koordinat-y kemudian. Untuk menarik perhatian kita pada kenyataan bahwa bagi sebuah titik P telah ditetapkan sebuah pasangan koordinat tertentu (a, b), maka lambang-lambang P dan (a, b) kita tuliskan secara berdampingan, seperti: P(a, b). Cara penulisan ini kita lakukan dalam Gambar 1.3.
         Prosedur geometri yang baru saja kita uraikan di atas menetapkan suatu pasangan terurut bilangan-bilangan bagi tiap-tiap titik dalam bidang. Atau juga sebagai suatu prosedur yang menetapkan sebuah titik dalam bidang dengan bidang dengan tiap-tiap pasangan-terurut bilangan-bilangan. Dalam hal ini, prosedur diatas menetapkan pasangan-terurut (a, b) bagi titik pada mana garis tegak-lurus yang menuju a pada sumbu-x memotong garis tegak-lurus yang menuju b sumbu-y. Jadi penetapan koordinat-koordinat ini adalah suatu hubungan satu-satu antara titik-titik dalam bidang dan himpunan semua pasangan terurut bilangan-bilangan riel.
      Koordinat-koordinat yang baru saja kita definisikan diatas disebut koordinat-koordinat Kartesius (Cartesian Coordinates) untuk menghargai jasa Descartes.
         Titik-titik pada sumbu-sumbu sekarang memiliki dua jenis penamaan, yakni: bilangan-bilangan yang ditetap kan bagi mereka ketika sumbu-sumbu ini disekalakan dan pasangan-pasangan bilangan yang ditetapkan bagi mereka sebagai titik-titik dalam bidang. Bagaimana kedua penamaan ini cocok, lihat Gambar 1.4. Perhatikan bahwa koordinat-y dari titik pada sumbu-x adalah 0, koordinat-x dari setiap titik pada sumbu-y adalah 0, dan koordinat dari titik-asal adalah (0, 0).

Gambar 1.4

Titik-titik pad sumbu-sumbu sekarang memiliki dua himpunan penamaan.

           Jika sumbu-x digambar kan secara horizontal, seperti dalam Gambar 1.5, maka gerakan dari kiri ke kanan sepanjang sumbu-x disebut gerakan dalam arah-x positif. Begitupula, gerakan dari kanan ke kiri adalah gerakan dalam arah-x negatif. Sepanjang sumbu-y, yang digambarkan vertikal, arah positif adalah ke atas, dan arah negatif ke bawah.

          Titik-asal membagi sumbu-x ke dalam sumbu-x positif (bagi ke sebelah kanan O) dan sumbu-x negatif (bagian ke sebelah kiri O). Begitupula, titik-asal membagi sumbu-y ke dalam sumbu-y positif dan sumbu-y negatif.

          Kedua sumbu ini membagi bidang ke empat buah daerah yang disebut kuadrant-kuadrant (quadrants), yang dinomori sebagai kesatu, kedua, ketiga, dan keempat. Dalam Gambar 1.5 mereka diberi nama I, II, III, dan IV.

          Berikut sedikit catatan mengenai skala-skala. Ketika kita menggambari data-data riel dalam koordinat bidang atau mengambarkan grafik dari rumus-rumus yang variabel-variabelnya memiliki satuan-satuan ukuran berbeda, maka satuan-satuan yang diperlihatkan pada kedua sumbu koordinat dapat memiliki tafsiran-tafsiran yang sangat berbeda. Misalnya, jikat kata mengambari data-data bagi jumlah utang negara pada waktu yang berbeda=beda maka sumbu-x mungkin memperlihatkan lamanya waktu dalam

          

Gambar 1.5

Arah sepanjang sumbu-sumbu: x dan  y bertambah dalam arah positif dan berkurang dalam arah negatif. Angka-angka Romawi memperlihatkan penomoran dari keempat kuadran.

satuan bulanan dan sumbu-y mungkin memperlihatkan miliyaran dolar. Jika kita menggambar grafik dari tekanan uap sebagai fungsi dari temperatur ketel-up, maka sumbu-x mungkin memperlihatkan ukuran suhu dalam satuan pon per inci persegi. Dalam kasus-kasus seperti ini jelas tidak ada alasan untuk untuk mempergunakan skala ketika kita menggambar kedua sumbu -koordinat ini. Di sini  tidak ada keharusan untuk menempatkan kedua bilangan 1 pada masing-masing sumbu sejauh sejumlah milimeter atau beberapa saja dari titik-asal.

          Tetapi apabila kita menggambar grafik dari fungsi-fungsi yang variabel-variabelnya tidak menyatakan pengukuran-pengukuran fisis, dan apabila kita menggambarkan gambaran-gambaran dalam koordinat-bidang untuk mempelajari geometri atau trigonometrinya, maka kita akan menganggap bahwa skala-skala  pada sumbu-sumbu koordinat yang kita gambar memiliki panjang yang sama. Satu satuan jarak ke atas dan ke bawah dalam bilangan akan kehilangan sama seperti satu satuan jarak ke kanan dan ke kiri. Seperti halnya pada sebuah peta pengukuran-tanah (suveryor) atau kertas grafik (scale drawing), bagian-bagian garis yang diandalkan memiliki panjang yang sama akan kelihatan seprti itu. Gambar-gambar yang sebangun akan kelihatan sebangun, tidak peduli di manapun mereka berada dalam bidang.